Geometría Dinámica

Los programas de geometría dinámica se han convertido en uno de los recursos informáticos que mejor permiten la interactividad del alumno con las ideas matemáticas.

Procesadores Geométricos

1. Dibujos a partir de definiciones

2. Construcciones dinámicas

De los discursivo a lo figural

1. Distinción entre dibujo y construcción

2. El dibujo como modelo de la figura

3. Observación de propiedades invariantes.

Características usuales de un procesador geométrico

1. Puntos, rectas, circunferencias, ángulos y polígonos.

2. Construcciones fundamentales y combinaciones de ellas.

3. Transformaciones geométricas.

4. Medición.

5. Comprobación de propiedades.

6. Ecuaciones y coordenadas.

7. Trazado de lugares geométricos. 

Tareonomía de un Procesador Geométrico

Taxonomía de tareas: Exploración guiada o no guiada, construcciones geométricas, lugares geométricos, reconstrucciones, aproximaciones a la demostración.

Exploración guiada: Preguntas asociadas a la prueba de arrastre, a partir de una construcción dada.

Exploraciones No guiadas: En una situación geométrica dada, realizar mediciones y construcciones auxiliares para reducir regularidades.

Construcciones geométricas: Construir un objeto, utilizando cierto tipo de herramientas.

Simulación: Construir situaciones que "imitan" algunos fenómenos.

Lugares geométricos: Construcción y discusión de los problemas que los involucran.

Reconstrucción: Construir un objeto geométrico dado, a partir de su imagen.

Aproximación a la demostración: Construir una situación geométrica asociada a un argumento "clave" de una.

Geometría Imposible

Una figura imposible se define como una imagen de dos dimensiones que se realiza para dar la impresión de un objeto tridimencional que no puede existir.
El artista sueco Oscar Reutersvard dibujó el triángulo imposible en 1934, que posteriormente fue utilizado en las obras del artista danés Hermann Paulsen.

 

Maurits Cornelis Escher

Fue un artista neerlandés conocido por sus grabados xxilográficos y litográficos que trtan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.

Su obra experimenta con diversos métodos de representar en dibujos de 2 o 3 dimensiones, espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.

Grupos Cristalográficos

Un cristal está formado por millones de moléculas iguales que al colocarse unas al lado de las otras en forma ordenada generan formas simétricas casi perfectas. La misma molécula se estará repitiendo en forma ordenada y periódica en todas las dimensiones del espacio. Es posible asignarle a cada compuesto cristalino un grupo de simetrías, a fin de poder diferenciarlos bien, unos de otros; existen miles de ellos en la naturaleza. La forma de hacer esto consiste en partir de una figura básica formada por una cierta combinación de moléculas, y entonces ir copiando esta figura en el espacio, como una imagen reflejada, rotada o trasladada de la original. Para esto necesitamos en primer lugar considerar solo un cierto tipo de traslaciones que coloque las moléculas en el lugar que le correspondan en forma ordenada, sin que se fundan unas con las otras. 

Un grupo de traslaciones con estas características, se llama un grupo discontinuo. 

Un grupo G de movimientos en el plano es un grupo discontinuo si para cada punto P del plano existe un entorno disco abierto D con centro en P tal que la imagen σ(P) no se encuentra en D, para todo σ en G diferente de la identidad. En otras palabras los movimientos de G no triviales, mueven a P fuera del entorno D. El siguiente resultado y su demostración se pueden ver en el teorema 1.

Teorema 1: Todo grupo de traslaciones discontinuo G en el plano corresponde a uno de los siguientes.

 1: G consiste sólo de la identidad. G = (I)

 2: G está generado por una traslación. G = (Ta) 

 3: G está generado por dos traslaciones. G = (Ta, Tb)

 La definición formal de grupo de cristalográfico plano es la siguiente: 

Un grupo G de movimientos en el plano es un grupo cristalográfico si el subgrupo de G formado por las traslaciones es un grupo abeliano infinito y generado por dos elementos.