Geometría Dinámica

Los programas de geometría dinámica se han convertido en uno de los recursos informáticos que mejor permiten la interactividad del alumno con las ideas matemáticas.

Procesadores Geométricos

1. Dibujos a partir de definiciones

2. Construcciones dinámicas

De los discursivo a lo figural

1. Distinción entre dibujo y construcción

2. El dibujo como modelo de la figura

3. Observación de propiedades invariantes.

Características usuales de un procesador geométrico

1. Puntos, rectas, circunferencias, ángulos y polígonos.

2. Construcciones fundamentales y combinaciones de ellas.

3. Transformaciones geométricas.

4. Medición.

5. Comprobación de propiedades.

6. Ecuaciones y coordenadas.

7. Trazado de lugares geométricos. 

Tareonomía de un Procesador Geométrico

Taxonomía de tareas: Exploración guiada o no guiada, construcciones geométricas, lugares geométricos, reconstrucciones, aproximaciones a la demostración.

Exploración guiada: Preguntas asociadas a la prueba de arrastre, a partir de una construcción dada.

Exploraciones No guiadas: En una situación geométrica dada, realizar mediciones y construcciones auxiliares para reducir regularidades.

Construcciones geométricas: Construir un objeto, utilizando cierto tipo de herramientas.

Simulación: Construir situaciones que "imitan" algunos fenómenos.

Lugares geométricos: Construcción y discusión de los problemas que los involucran.

Reconstrucción: Construir un objeto geométrico dado, a partir de su imagen.

Aproximación a la demostración: Construir una situación geométrica asociada a un argumento "clave" de una.

Geometría Imposible

Una figura imposible se define como una imagen de dos dimensiones que se realiza para dar la impresión de un objeto tridimencional que no puede existir.
El artista sueco Oscar Reutersvard dibujó el triángulo imposible en 1934, que posteriormente fue utilizado en las obras del artista danés Hermann Paulsen.

 

Maurits Cornelis Escher

Fue un artista neerlandés conocido por sus grabados xxilográficos y litográficos que trtan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.

Su obra experimenta con diversos métodos de representar en dibujos de 2 o 3 dimensiones, espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.

Grupos Cristalográficos

Un cristal está formado por millones de moléculas iguales que al colocarse unas al lado de las otras en forma ordenada generan formas simétricas casi perfectas. La misma molécula se estará repitiendo en forma ordenada y periódica en todas las dimensiones del espacio. Es posible asignarle a cada compuesto cristalino un grupo de simetrías, a fin de poder diferenciarlos bien, unos de otros; existen miles de ellos en la naturaleza. La forma de hacer esto consiste en partir de una figura básica formada por una cierta combinación de moléculas, y entonces ir copiando esta figura en el espacio, como una imagen reflejada, rotada o trasladada de la original. Para esto necesitamos en primer lugar considerar solo un cierto tipo de traslaciones que coloque las moléculas en el lugar que le correspondan en forma ordenada, sin que se fundan unas con las otras. 

Un grupo de traslaciones con estas características, se llama un grupo discontinuo. 

Un grupo G de movimientos en el plano es un grupo discontinuo si para cada punto P del plano existe un entorno disco abierto D con centro en P tal que la imagen σ(P) no se encuentra en D, para todo σ en G diferente de la identidad. En otras palabras los movimientos de G no triviales, mueven a P fuera del entorno D. El siguiente resultado y su demostración se pueden ver en el teorema 1.

Teorema 1: Todo grupo de traslaciones discontinuo G en el plano corresponde a uno de los siguientes.

 1: G consiste sólo de la identidad. G = (I)

 2: G está generado por una traslación. G = (Ta) 

 3: G está generado por dos traslaciones. G = (Ta, Tb)

 La definición formal de grupo de cristalográfico plano es la siguiente: 

Un grupo G de movimientos en el plano es un grupo cristalográfico si el subgrupo de G formado por las traslaciones es un grupo abeliano infinito y generado por dos elementos.

Matemática Pitagórica Africana (Clase:24/08/15)

Antes de la invención de los números, los primeros hombres tuvieron que resolver los problemas cotidianos como: medir, cuantificar, comparar, clasificar. Contaban los días del mes, el suministro de agua, el número de instrumentos y animales. Una de las primeras maneras de lograr el recuento fue asociando cada objeto que deseaban cuantificar, por ejemplo una piedra puede asociar cada animal de rebaño.

Lo que precedió a la escritura eran las marcas de palos, piedras y huesos de animales. El primer registro de este tipo de puntuación es el hueso Lebombo. 

Fue utilizado hace aproximadamente 35.000 años a.C y fue encontrado en 1970 en las montañas del Reino de Swazilandia. Contiene una secuencia de 29 marcas utilizados en la actualidad por las tribus de los bosquimanos.

En los años 50 se encontró un objeto aún más interesante, este es el hueso de Ishango. 

Es una herramienta de hueso que data del Paleolítico Superior aproximadamente del año 20.000 a.C. Este objeto consiste en un largo hueso marrón (del peroné de un babuino), con un pedazo punzante de cuarzo incrustado en uno de sus extremos,utilizado para grabar o escribir; se utilizaba como palo de conteo. El hueso tiene una serie de muescas talladas divididas en tres columnas que abarcan toda la longitud de la herramienta, las agrupaciones de muescas indican un entendimiento matemático que va más allá del conteo.
Control de cálculos. Sistema en base 12

           

                                                                                                                                                                                               
Puntos a destacar:

1. Botones entrelazados originarios de Mozambique.
2. Defensa del elefante  de Bakuba.
3. Cingelyengenlye (Dibujos en la arena de Cowke)

Matemática desde la Perspectiva Occidental (Clase: 17/08/15)

Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética; derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas.
Fue discípulo de Tales y se le atribuye a Pitágoras la Teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música.

Escuela Pitagórica

Fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matemáticos y vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oía las enseñanzas de Pitágoras directamente y debía observar estrictas reglas de conducta. Sus máximas pueden sintetizarse como:
1. Que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática. 
2. Que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual.
3. Que el alma puede elevarse para unirse con lo divino.
4. Que ciertos símbolos son de naturaleza mística.
5. Que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

Música
Se le adjudica a Pitágoras el descubrimiento de las leyes de los intervalos musicales regulares, es decir, las relaciones aritméticas de la escala musical.

La afinación pitagórica es una gama musical construida sobre intervalos de quintas perfectas de razón 3/2. Las frecuencias pitagóricas de la nota "Do"son las siguientes: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048.

Para los pitagóricos la música poseía además un valor ético y medicinal;  hacía comenzar la educación por la música, por medio de ciertas melodías y ritmos, gracias a los cuales sanaba los rasgos de carácter y las pasiones de los hombres, atraía la armonía entre las facultades del alma. La idea del orden y de que las relaciones de armonía regulan incluso todo el universo, se encuentran presentes en todo el sistema pitagórico. La armonía del cuerpo y la armonía del cosmos eran vistas por igual, dentro de un sistema unificado. 

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Matemática Babilónica 

(Clase: 10/08/2015)

El período de la Antigua Babilonia es al cual pertenecen la mayoría de las tablillas de arcilla, como por ejemplo la Plimpton 322 que describe un método para resolver lo que hoy en día conocemos como funciones cuadráticas.
Los babilonios hicieron un uso extensivo de dichas tablas precalculadas para asistirse en la aritmética.

Numerales Babilónicos

El sistema de numeración babilónico era el sistema de numeración sexagesimal (base-60). De aquí se deriva el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora, 360 grados en un círculo. Los babilonios fueron capaces de realizar grandes avances en matemáticas por dos razones: en primer lugar, el número 60 es un número compuesto, con muchos divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, lo cual facilita los cálculos con fracciones.

Aritmética

Los babilonios hicieron uso extensivo de tablas pre calculadas para asistirse en la aritmética, dan listas con los números cuadrados perfectos hasta el 59 y con los números cúbicos hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de los cuadrados junto a las fórmulas para simplificar la multiplicación.

 

Geometría de la Cultura Egipcia:Clase 03/08/2015

Los egipcios calculaban correctamente superficies de cuadriláteros, triángulos y tenían una buena aproximación al área del círculo.Igual que la aritmética, era una ciencia eminentemente práctica que ofrecía soluciones concretas a diversos problemas.

El Papiro

Es el soporte de escritura elaborado a partir de una planta acuática, muy común en el río Nilo, en Egipto, y en algunos lugares de la cuenca mediterránea,  una hierba palustre de la familia de las ciperáceas, el Cyperus papyrus.

Textos

Las inscripciones se realizaban en la cara del papiro que tenía dispuestas las tiras horizontalmente: el anverso. En la otra cara (el reverso) raramente se escribía aunque, por ser muy caro, si lo que estaba escrito perdía interés, era borrado y vuelto a utilizar. 

Uso

El volumen se guardaba en un estuche de pergamino teñido a veces de rojo con el jugo del arándano (vaccinium). Un trozo de pergamino se unía al rollo y llevaba escrito en ocasiones con tinta roja, el título de la obra. El lector sujetaba el volumen con su mano derecha, y lo iba desenvolviendo con la izquierda; esta misma le servía para enrollar la parte del libro ya leído.

Cálculo de Volúmenes

Pirámide

Se trata de averiguar el volumen de un tronco de base cuadrada, con lado de la base inferior a, lado de la superior b y altura h, los cálculos son:

1. Elevar a al cuadrado y multiplicar el resultado por b;

2. Elevar b al cuadrado y sumar los resultados de las tres operaciones.

3. Dividir h entre 3 y multiplicar por el resultado de la anterior serie de operaciones: ese es el volumen.

La expresión de esta extraña serie de operaciones es la fórmula exacta del volumen del tronco de pirámide:

V = (h/3) (a² + ab + b²).

Este problema era necesario de solucionar, porque los obeliscos y muchos otros elementos arquitectónicos tenían esta forma, y convenía conocer su volumen para la extracción, transporte y utilización.

Comentario 
Al iniciar la clase, hicimos una lluvia de ideas acerca de Egipto, todas las cosas que hemos aprendido o visto por algún medio en el transcurso de los años.
El tema es bastante interesante, fascinante y lleno de conocimiento.
En el antiguo Egipto desarrollaron diferentes artes arquitectónicas que nos dejan pasmados hoy en día, ya que ellos no tenían las fórmulas con las que trabajamos en el presente.
La lección en sí, fue absorbente y satisfactoria; junto con la exposición y la actividad adjuntada fue excelente.